【数学运算点播】----全套数学考点梳理！！！！
数学运算上（注意运算不要算错，看错！！！越简单的题，越要小心陷阱）
一．排列组合问题
1. 能不用排列组合尽量不用。用分步分类，避免错误
2. 分类处理方法，排除法。
例：要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有（C1/2 *C1/3 +1）种不同的排法?
析：当只有一名女职员参加时，C1/2* C1/3；
当有两名女职员参加时，有1种
3．特殊位置先排
例：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲乙两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3 * P4/4）
析：先安排星期五，后其它。
4. 相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。
例：把12个小球放到编号不同的8个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，共有（C7/11）种方法。
析：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有12－1个空，用8－1个隔板插入，一种插板方法对应一种分配方案，共有C7/11种，即所求。
注意：如果小球也有编号，则不能用隔板法。
5. 相离问题（互不相邻）用插空法
例：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种排法？
析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步，排其它四个人的位置，四个0代表其它四个人的位置，有P4/4种。第二步，甲乙丙只能分别出现在不同的 | 上，有P3/5种，则P4/4 * P3/5即所求。
例：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
析：思路一，用二次插空法。先放置8个节目，有9个空位，先插一个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，现有11种空位，再插一种为11种方法。则共有方法9*10*11。
思路二，可以这么考虑，在11个节目中把三个节目排定后，剩下的8个位置就不用排了，因为8个位置是固定的。因此共有方法P3/11
6. 相邻问题用捆绑法
例：7人排成一排，甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
析：把甲、乙、丙看作整体X。第一步，其它四个元素和X元素组成的数列，排列有P5/5种；第二步，再排X元素，有P3/3种。则排法是P5/5 * P3/3种。
7. 定序问题用除法
例：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？
析：思路一：1－9，组成5位数有P5/9。假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的P3/3-1个顺序，都有X种排法。则X*(P3/3-1+1)=P5/9,即X=P5/9 / P3/3
思路二：分步。第一步，选前两位，有P2/9种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为P2/9 * C3/7
8. 平均分组
例：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。有多少种不同的分法？
析：分三步，先从6本书中取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另一个人，剩下的2本给最后一人，共C2/6* C2/4 * C2/2
例：有6本不同的书，分成三份，每份两本。有多少种不同的分法？
析：分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案(AB,CD,EF)和方案（AB,EF,CD）等是一样的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）个方案中，每一种分法，其重复的次数有P3/3种。则分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2） / P3/3 种分法。
二．日期问题
1.闰年，2月是29天。平年，28天。
2.口诀：
平年加1，闰年加2；(由平年365天/7=52余1得出)。
例：2002年 9月1号是星期日2008年9月1号是星期几？
因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：
4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。
例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？
4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到）
三．集合问题
1.两交集通解公式（有两项）
公式为：满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数
其中满足条件一的个数是指 只满足条件一不满足条件二的个数 加上 两条件都满足的个数公式可以画图得出
例：有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？
思路一：两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4
设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9
思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9
例：对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共305户，那么既有汽车又有摩托车的有多少户？
析：套用公式27+108－T=432-305 得T=8
2.三交集公式（有三项）
例：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人，则只喜欢看电影的人有多少人？
如图， U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的
X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人
T是三者都喜欢的人。即阴影部分。
a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧
b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛
c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项。不喜欢电影。
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人，B是只喜欢两项的人，T是喜欢三项的人。
则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T)
整理，即
A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人
又：A+B+T＝人数
再B+3T＝ 至少喜欢2项的人数和
则
原题解如下：
A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52
A+(6+4+c)+12=100
求得c=14
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－12＝22人
四．时钟问题
1.时针与分针
分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。
例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 /11/12 分钟的时间。
例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60 / 11/12 ＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格
例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。
3.时针与秒针
时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。
例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。
4.成角度问题
例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？
析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。
5.相遇问题
例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。
例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
析：
只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。
五．方阵问题
1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4
3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625
例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
析：设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4.
8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)
求出Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260
例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
析：最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40
应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144
六．几何问题
1.公式
补：扇形面积＝1/2*r*l 其中r为半径，l为弧长。
2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。
图1中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD
图2中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高，相似得到)
例： 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？
Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4
例： 例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？
Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd
同理Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd
则Sabcd=30/(2+2+1)=6
3.圆分割平面公式
公式为：N^2-N+2,其中N为圆的个数。
一个圆能把平面分成两个区域，两个圆能把平面分成四个区域，问四个圆能最多把平面分成多少个区域？(4^2-4+2 )
4.最大和最小
（1）等面积的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。
（2）等周长的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大。
以上两条定理是等价的。
（3）等体积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其表面积越小。
（4）等表面积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其体积越大。
以上两条定理是等价的。
例：相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是:
A 四面体B 六面体C 正十二面体D 正二十面体
析：显然，正二十面体最接近球体，则体积最大。
5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（ ）
A．长25厘米、宽17厘米 B．长26厘米、宽14厘米
C．长24厘米、宽21厘米 D．长24厘米、宽14厘米
析：这种题型首先的思路应该是，先算盒子的总面积=2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了C其它都小于432。
七．比例问题、十字相乘法与浓度问题
1.十字相乘法
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。则C为1。
得式子，A*X+B*(1-X)＝C*1
整理得X=C-B / A-B 1-X=A-C / A-B
则有X : (1-X)=C-B / A-C
计算过程写为
X A C-B
：＝ C
1-X B A-C (一般大的写上面A, 小的B。)
例：某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是
析：一个集合（教练员和运动员的男性），只有2个不同的取值，部分个体取值（90%）,剩余部分取值为82%，平均值为82%。
教练员 90% 2%
82% = 1:4
运动员 80% 8%
例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：
析：男生平均分X，女生1.2X
1.2X 75-X 1
75 =
X 1.2X-75 1.8
得X=70 女生为84
2.浓度问题
溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量
浓度＝溶质的质量 / 溶液质量
浓度又称为溶质的质量分数。
关于稀释，加浓，配制。其中混合后的浓度为P.
稀释，一溶液加水，相当于a克P1%的溶液，和b克0%的溶液配制。
P1 P a
P
0 P1-P b
加浓，相当于a克p1%的溶液，和b克100%的溶液配制。
P1 P-100 a
P
100 P1-P b
配制则是a克P1%的溶液，和b克P2%的溶液配制。
可列以下十字相乘：
P1 P-P2 a
P
P2 P1-P b
注：有些题不用十字相乘法更简单。
例：有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需加盐多少千克？
析：
15 80 20
20
100 5 b
80/5=20/b 得b=1.25g
例：从装满100g浓度为80％的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）
A.17.28% B.28.8% C.11.52% D.48%
析：开始时，溶质为80克。第一次倒出40g，再加清水倒满，倒出了盐80*40%，此时还剩盐80*60%。同理，第二次，剩80*60%*60%。第三次，乘80*60%^3=17.28g，即浓度为17.28%
特例：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？
析：设甲浓度P1,乙浓度P2。混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水为a
则对于甲
P1 P-P2 120-a
P
P2 P1-P a
对于乙
P2 P-P1 80-a
P
P1 P2-P a
则120-a a
: = :
a 80-a
得a=120*80 / 120+80
一般地，对于质量为m1,m2的溶液，也有a=m1*m2/(m1+m2)
第四部分、数学运算中
八．数、整除、余数与剩余定理
1.数的整除特性
被4整除：末两位是4的倍数，如16,216,936…
被8整除：末三位是8的倍数，如144，2144，3152
被9整除：每位数字相加是9的倍数，如，81，936，549
被1 1整除：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数。如，121，231，9295
如果数A被C整除，数B被C整除，则，A+B 能被C整除 ; A*B也能被C整除
如果A能被C整除，A能被B整除，BC互质，则A能被B*C整除。
例：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是：
析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍数，5是5的倍数，则A是5的倍数，同理A是6的倍数，A是7的倍数，则A为最小公倍数，210，此题得解。
2.剩余定理
原理用个例子解释，一个数除以3余2，那么，这个数加3再除以3，余数还是2.
一个数除以5余3，除以4余3，那么这个数加上5和4的公倍数 所得到的数，除3还是能得到这个结论。
例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）
析：7是最小的满足条件的数。9，5，4的最小公倍数为180，则187是第二个这样的数，367，547，727，907共5个三位数。
例：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
析：题目转化为，一个数除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一步，从最大的数开刀，先找出除以9余5的最小数，14。 第二步，找出满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数。14除以7不余1；再试14+9这个数，23除以7照样不余1；数取14+9*4时，50除以7余1，即满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数是，50； 第三步，找符合三个条件的。50除以5不余2，再来50+63（9，7的最小公倍数）＝123，除5仍不余2；再来，50+126，不余2；……当50+63*4时，余2，满足3个条件，即至少有302个人。
例：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7.如果100<P<1000，则这样的P有几个？
析：此题可用剩余定理。但有更简单的，
P+1是10的倍数
P+1是9的倍数
P+1是8的倍数
1-1000内，10，9，8的公倍数为，360,720，则P为359,719。
3.84*86＝？
出现如AB*AC=?，其中B+C=10，计算结果为：百位数为A(A+1)，十位/个位数为：B*C。注：如果B*C小于10，用0补足。如：29*21,百位数为2*3=6，个倍数为1*9＝9，则结果为609.
4.根号3,3次根号下5，哪个小？
这类题，关键是用一个大次的根号包住两个数。一个是2次根号，一个是3次根号，则应该用6次根号包住它们。根号3，可以化成6次根号下27；3次根号下5，可化为6次根号下25,则根号3大于3次根号下5.
九．等差数列
性质：
（1）等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数或者正中间那两个数的平均值（偶数个数）
（2）任意角标差值相等的两个数之差都相等，即
A(n+i)-An=A(m+i)-Am
例：｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是：
A3-a10=A4-A11=-4 这道题应用这两个性质可以简单求解。
因此A7=8+4=12，而这13个数的平均值又恰好为正中间的数字a7，因此这13个数的和为12×13=156
十．抽屉问题
解这类题的关键是，找出所有的可能性，然后用最不利的情况分析。
例：一个布袋中由35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
析：最不利的情况是，取出3个蓝色球，又取了2个绿色球，白、黄、红各取3个，这个时候再取一个就有4个是同一颜色的球了。即取：3+2+3*3+1＝15个球。
例：从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？ 重点
析:考虑到这12个自然数中，满足差为7的组合有，(12，5)，（11，4），（10，3），（9，2），（8，1），共五种，还有6,7两个数没有出现过，则最不幸的情况就是，（12，5）等都取了一个，即五个抽屉取了五个，还有6,7各取一个，再取一个就有两个数差为7了，则取了5+2+1=8个。
例：学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同
析：不同的情况有，都不参加、参加语文、参加数学、参加美术、参加语文和数学、参加语文和美术、参加数学和美术，最不幸的情况是，4组人都参加了这7项，共28项，这样，再加入1人，即29人时，满足题意。
十一.函数问题
这种题型，土方法就是找一个简单的数代入。
X^3+Y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
1. 求值
例：已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x)，则f(2)是多少？
析：既然f(2+x)=f(2-x)，当x=2时，方程成立，即f(4)=f(0)，求得a=-4，得解。
例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求f(2008)=?
析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0
例：f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=?
析：f(3)=-1/f(2)=1/2007，f(4)=-1/-1/2007=2007，f(5)=-1/2007，则f(2007)=-1/2007
例：f(2x-1)=4*X^2-2x,求f(x)
析：设2x-1=u，则x=u+1 / 2，则f(u)=4* ((u+1)/2)^2-2*(u+1)/2 =u^2+u 所以f(x)=x^2+x
2.求极值
例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-x^2+4*x+1，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（ ）
A． 10 B．20 C．30 D．50
析：y=-(x-2)^2+5，则y最大值为5。净利润为50万元。可以配方的。
例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-1/3x^3+x^2+11/3，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（）
A 5B 50 C 60 D70
析：这道题要求导，公式忘光了， y=-1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得x=2，则代入y得5。求导公式好像是-1/3x^3=3*(-1/3)*x^2，常数为0。不能配方的，极值试求导，不会做只能放弃。
十二、比赛问题
1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？( )
【解析】在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100-2＝98(场)。
2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？( )
【解析】根据公式，采用单循环赛的比赛场次＝参赛选手数×（参赛选手数-1)/2，因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。
3. 某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？( )
【解析】 根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：4×（4-1)÷2＝6(场)，8组共48场；第二阶段中，有2×8＝16人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数-1，即15场。最后，总的比赛场次是48＋15＝63(场)。
4. 某学校承办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？( )
【解析】 根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：6×（6-1)÷2＝15(场)，2组共30场；第二阶段中，有2×3＝6人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30＋6＝36(场)。 又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息36÷6-1＝5(天)，所以全部比赛完成共需18＋5＝23(天)。
比赛赛制
在正规的大型赛事中，我们经常听到淘汰赛或者循环赛的提法，实际上这是两种不同的赛制，选手们需要根据事前确定的赛制规则进行比赛。我们先谈谈两者的概念和区别。
1. 循环赛：就是参加比赛的各队之间，轮流进行比赛，做到队队见面相遇，根据各队胜负的场次积分多少决定名次。
循环赛包括单循环和双循环。
单循环是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。
单循环比赛场次计算的公式为： 由于单循环赛是任意两个队之间的一场比赛，实际上是一个组合题目，就是C(参赛选手数，2)，即：单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目少，或者打算创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法。
双循环比赛场次计算的公式为：由于双循环赛是任意两队之间比赛两次，因此比赛总场数是单循环赛的2倍，即：双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
2. 淘汰赛：就是所有参加比赛的队按照预先编排的比赛次序、号码位置，每两队之间进行一次第一轮比赛，胜队再进入下一轮比赛，负队便被淘汰，失去继续参加比赛的资格，能够参加到最后一场比赛的队，胜队为冠军，负队为亚军。
淘汰赛常需要求决出冠(亚)军的场次，以及前三(四)名的场次。
决出冠(亚)军的比赛场次计算的公式为：由于最后一场比赛是决出冠(亚)军，若是n个人参赛，只要淘汰掉n-1个人，就可以了，所以比赛场次是n-1场，即：淘汰出冠(亚)军的比赛场次＝参赛选手数-1；
决出前三(四)名的比赛场次计算的公式为：决出冠亚军之后，还要在前四名剩余的两人中进行季军争夺赛，也就是需要比只决出冠(亚)军再多进行一场比赛，所以比赛场次是n场，即：淘汰出前三(四)名的比赛场次＝参赛选手数。
第六部分、数字运算下
十三．其它问题
1.工程问题中的木桶原理
例：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（ ）天？
A、4B、 5C、6D、7
析：丙丁合做需要8天，则丙丁平均效率16天，这里最差的18天，则四人做最差也只要4.5天，则选4。
例：一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（ ）天？
A、2.5 B、3 C、4.5 D、6
析：平均分配给这些人做，则每人做1/6，需要的天数由最差效率的人决定。则需1/6 / 1/18 =3
2.年龄问题多用代入法
母亲现在的年龄个位数跟十位数对调就是女儿的年龄。再过13年 母亲的年龄就是女儿年龄的2倍。则母亲年龄是（ ）
A、52B、42C、41D、44
析：此题不用列方程，直接代入即可。另一种方法是，母亲现在的年龄加上13是偶数，则现在年龄是奇数。
3.3000页码里含有多少个2?
析：1－99里有20个2，100－199有20个2。0－999中，除了200-299有100+20个2以外，每100都有20个2，则0－999共有2：120+9*20＝300
同理：3000－3999也有300个2
考虑2000-2999，因为0-999含有300个2，这1000个数里，每个数其实都多加了一个2，则应该含有1000+300个2。
则共有2:1300+300+300。
一般地：
001－099有20个N（N表示1－9的任何数）
100－199有20个N（N不能等于1)
200－299有20个N（N不能等于2）
……
0000－0999有300个N，
1000－1999有300个N（N不能等于1）
2000－2999有300个N（N不能等于2）
……
00000－09999有4000个N
10000－19999有4000个N（N不能等于1）
100000－199999有50000个N（N不能等于1）
900000－999999有50000个N（N不能等于9）
而：
100-199有120个1
1000-1999有1300个1
2000－2999有1300个2
10000－19999有14000个1
100000－199999有150000个1。
则此题中：
思路1：0－999含2为300个，1000－1999含2为300个；2000－2999含2为1300个。则共有1900个2。
思路2：0－3000中，百位以下（含百位）含2为，3*300＝900，千位含2为1000个。则共有1900个2。
例：一本1000页的书有多少个1？
析：1000页书中，0－999页有300个1，1000又有1个1，则共有301个1。
例：一本10000页的书有多少个1？
析：0－9999有4000个1,加上10000的一个1，则为4001个1。
例：3000页的书有多少个3?
析：0－999有300个3，1000－1999有300个3，2000－2999有300个3,3000有1个3,则3*300+1＝901页
4.1000页码里有多少页含1?
析：此题与上题不同，问的是页数。则因为总共有301个1，其中重复计算的111中的2个1，9个1X1，11X中9个1，X11有9个1，共有29个1，则有272个含1的。
思路2：00－99中，含1的页码有10+9。则200－299，300－399……900－999，共有1的页码是：19*8。在100-199中，含1页码为100，加上第1000页，共有页码：19+19*8+100+1＝272页。
5.三人隔不同时间的相遇
例：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？
A.10月18日 B.10月14日 C.11月18日 D.11月14日
析：0 0 0 0 0 0 0，这是隔5天，实际上第一次（5月18日）相遇那天，过了6天，甲又去借书，再过6天又去借书，也就是过6的倍数天去借书。同理，乙是12倍数，丙是18倍数，丁是30倍数，最小公倍数是180，即过了180天，因为有小于31的，一定选D.
注：数学运算题型众多，本文并未全部涉及。欲继续加强这部分的朋友，可以通过历年真题+小学奥数题本学习。 有这两本发我一份呗 826652339@qq.com
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