【数学运算点播】----全套数学考点梳理！！！！

紫语城池 · 发表于 2014-7-11 08:55:52

数学运算上

（注意运算不要算错，看错！！！越简单的题，越要小心陷阱）

一．排列组合问题

1. 能不用排列组合尽量不用。用分步分类，避免错误

2. 分类处理方法，排除法。

例：要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有（C1/2 *C1/3 +1）种不同的排法?
析：当只有一名女职员参加时，C1/2* C1/3；

当有两名女职员参加时，有1种

3．特殊位置先排

   例：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲乙两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3 * P4/4）
   析：先安排星期五，后其它。

4. 相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。

   例：把12个小球放到编号不同的8个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，共有（C7/11）种方法。
   析：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有12－1个空，用8－1个隔板插入，一种插板方法对应一种分配方案，共有C7/11种，即所求。
   注意：如果小球也有编号，则不能用隔板法。

5. 相离问题（互不相邻）用插空法

   例：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种排法？
   析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步，排其它四个人的位置，四个0代表其它四个人的位置，有P4/4种。第二步，甲乙丙只能分别出现在不同的 | 上，有P3/5种，则P4/4 * P3/5即所求。

   例：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
   析：思路一，用二次插空法。先放置8个节目，有9个空位，先插一个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，现有11种空位，再插一种为11种方法。则共有方法9*10*11。
   思路二，可以这么考虑，在11个节目中把三个节目排定后，剩下的8个位置就不用排了，因为8个位置是固定的。因此共有方法P3/11

6. 相邻问题用捆绑法
   例：7人排成一排，甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
   析：把甲、乙、丙看作整体X。第一步，其它四个元素和X元素组成的数列，排列有P5/5种；第二步，再排X元素，有P3/3种。则排法是P5/5 * P3/3种。

7. 定序问题用除法

   例：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？
   析：思路一：1－9，组成5位数有P5/9。假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的P3/3-1个顺序，都有X种排法。则X*(P3/3-1+1)=P5/9,即X=P5/9 / P3/3
思路二：分步。第一步，选前两位，有P2/9种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为P2/9 * C3/7

8. 平均分组

例：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。有多少种不同的分法？
析：分三步，先从6本书中取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另一个人，剩下的2本给最后一人，共C2/6* C2/4 * C2/2

例：有6本不同的书，分成三份，每份两本。有多少种不同的分法？
析：分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案(AB,CD,EF)和方案（AB,EF,CD）等是一样的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）个方案中，每一种分法，其重复的次数有P3/3种。则分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2） / P3/3 种分法。

二．日期问题

1.闰年，2月是29天。平年，28天。

2.口诀：
平年加1，闰年加2；(由平年365天/7=52余1得出)。

例：2002年 9月1号是星期日  2008年9月1号是星期几？
因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：
4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。

例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？
4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到）

三．集合问题

1.两交集通解公式（有两项）

公式为：满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数
其中满足条件一的个数是指只满足条件一不满足条件二的个数加上两条件都满足的个数  公式可以画图得出

例：有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？
思路一：两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4
设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9
思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9

例：对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共305户，那么既有汽车又有摩托车的有多少户？
析：套用公式27+108－T=432-305 得T=8

2.三交集公式（有三项）
例：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人，则只喜欢看电影的人有多少人？

如图， U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的
X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人
T是三者都喜欢的人。即阴影部分。
a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧
b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛
c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项。不喜欢电影。
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人，B是只喜欢两项的人，T是喜欢三项的人。
则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T)
整理，即
A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人
又：A+B+T＝人数
再B+3T＝至少喜欢2项的人数和
则
原题解如下：
A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52
A+(6+4+c)+12=100
求得c=14
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－12＝22人

四．时钟问题
1.时针与分针
分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。

例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 /  11/12 分钟的时间。

例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60 / 11/12 ＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格
例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。
3.时针与秒针
时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。
例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。
4.成角度问题
例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？

析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。

5.相遇问题
例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。

例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
析：

只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。

五．方阵问题

1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4
3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625
例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

析：设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4.
8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)
求出Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260

例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
析：最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40
应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144

六．几何问题

1.公式

补：扇形面积＝1/2*r*l 其中r为半径，l为弧长。

2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。

图1中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD
图2中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高，相似得到)

例：如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？

Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4

例：　例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？

Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd
同理Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd
则Sabcd=30/(2+2+1)=6

3.圆分割平面公式
公式为：N^2-N+2,其中N为圆的个数。
一个圆能把平面分成两个区域，两个圆能把平面分成四个区域，问四个圆能最多把平面分成多少个区域？(4^2-4+2 )

4.最大和最小
（1）等面积的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。
（2）等周长的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大。
以上两条定理是等价的。
（3）等体积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其表面积越小。
（4）等表面积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其体积越大。
以上两条定理是等价的。

例：相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是:
A 四面体  B 六面体  C 正十二面体  D 正二十面体
析：显然，正二十面体最接近球体，则体积最大。

5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（）
A．长25厘米、宽17厘米          B．长26厘米、宽14厘米
C．长24厘米、宽21厘米          D．长24厘米、宽14厘米
析：这种题型首先的思路应该是，先算盒子的总面积=2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了C其它都小于432。

七．比例问题、十字相乘法与浓度问题

1.十字相乘法
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。则C为1。
得式子，A*X+B*(1-X)＝C*1
整理得X=C-B / A-B 1-X=A-C / A-B
则有X : (1-X)=C-B / A-C
计算过程写为

X       A       C-B

：  ＝       C

1-X    B       A-C       (一般大的写上面A, 小的B。)

例：某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是
析：一个集合（教练员和运动员的男性），只有2个不同的取值，部分个体取值（90%）,剩余部分取值为82%，平均值为82%。
教练员 90%       2%
            82%                = 1:4
运动员 80%       8%

例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：
析：男生平均分X，女生1.2X
1.2X       75-X       1
   75          =
X          1.2X-75    1.8
得X=70 女生为84



2.浓度问题
溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量
浓度＝溶质的质量 / 溶液质量
浓度又称为溶质的质量分数。

关于稀释，加浓，配制。其中混合后的浓度为P.
稀释，一溶液加水，相当于a克P1%的溶液，和b克0%的溶液配制。
P1          P       a
   P
0          P1-P    b

加浓，相当于a克p1%的溶液，和b克100%的溶液配制。
P1       P-100 a
   P
100       P1-P    b

配制则是a克P1%的溶液，和b克P2%的溶液配制。
可列以下十字相乘：
P1       P-P2    a
   P
P2       P1-P    b

注：有些题不用十字相乘法更简单。



例：有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需加盐多少千克？
析：
15          80    20
   20
100          5       b

80/5=20/b 得b=1.25g

例：从装满100g浓度为80％的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）
A.17.28% B.28.8%    C.11.52% D.48%
析：开始时，溶质为80克。第一次倒出40g，再加清水倒满，倒出了盐80*40%，此时还剩盐80*60%。同理，第二次，剩80*60%*60%。第三次，乘80*60%^3=17.28g，即浓度为17.28%

特例：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？
析：设甲浓度P1,乙浓度P2。混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水为a
则对于甲
P1    P-P2    120-a
   P
P2    P1-P    a

对于乙
P2       P-P1    80-a
   P
P1       P2-P    a

则120-a    a
   :    =    :
a          80-a
得a=120*80 / 120+80

一般地，对于质量为m1,m2的溶液，也有a=m1*m2  /  (m1+m2)

第四部分、数学运算中

八．数、整除、余数与剩余定理
1.数的整除特性
被4整除：末两位是4的倍数，如16,216,936…
被8整除：末三位是8的倍数，如144，2144，3152
被9整除：每位数字相加是9的倍数，如，81，936，549
被1    1整除：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数。  如，121，231，9295
如果数A被C整除，数B被C整除，则，A+B 能被C整除 ; A*B也能被C整除
如果A能被C整除，A能被B整除，BC互质，则A能被B*C整除。

例：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是：
析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍数，5是5的倍数，则A是5的倍数，同理A是6的倍数，A是7的倍数，则A为最小公倍数，210，此题得解。
2.剩余定理
原理用个例子解释，一个数除以3余2，那么，这个数加3再除以3，余数还是2.
一个数除以5余3，除以4余3，那么这个数加上5和4的公倍数 所得到的数，除3还是能得到这个结论。

例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）
析：7是最小的满足条件的数。9，5，4的最小公倍数为180，则187是第二个这样的数，367，547，727，907共5个三位数。
例：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
析：题目转化为，一个数除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一步，从最大的数开刀，先找出除以9余5的最小数，14。    第二步，找出满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数。14除以7不余1；再试14+9这个数，23除以7照样不余1；数取14+9*4时，50除以7余1，即满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数是，50；第三步，找符合三个条件的。50除以5不余2，再来50+63（9，7的最小公倍数）＝123，除5仍不余2；再来，50+126，不余2；……当50+63*4时，余2，满足3个条件，即至少有302个人。
例：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7.如果100<P<1000，则这样的P有几个？
析：此题可用剩余定理。但有更简单的，
P+1是10的倍数
P+1是9的倍数
P+1是8的倍数
1-1000内，10，9，8的公倍数为，360,720，则P为359,719。

3.84*86＝？
出现如AB*AC=?，其中B+C=10，计算结果为：百位数为A(A+1)，十位/个位数为：B*C。注：如果B*C小于10，用0补足。如：29*21,百位数为2*3=6，个倍数为1*9＝9，则结果为609.

4.根号3,3次根号下5，哪个小？

这类题，关键是用一个大次的根号包住两个数。一个是2次根号，一个是3次根号，则应该用6次根号包住它们。根号3，可以化成6次根号下27；3次根号下5，可化为6次根号下25,则根号3大于3次根号下5.

九．等差数列
性质：
（1）等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数或者正中间那两个数的平均值（偶数个数）
（2）任意角标差值相等的两个数之差都相等，即
A(n+i)-An=A(m+i)-Am
例：｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是：
A3-a10=A4-A11=-4

这道题应用这两个性质可以简单求解。
因此A7=8+4=12，而这13个数的平均值又恰好为正中间的数字a7，因此这13个数的和为 12×13=156

十．抽屉问题
解这类题的关键是，找出所有的可能性，然后用最不利的情况分析。

例：一个布袋中由35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
析：最不利的情况是，取出3个蓝色球，又取了2个绿色球，白、黄、红各取3个，这个时候再取一个就有4个是同一颜色的球了。即取：3+2+3*3+1＝15个球。
例：从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？重点
析:考虑到这12个自然数中，满足差为7的组合有，(12，5)，（11，4），（10，3），（9，2），（8，1），共五种，还有6,7两个数没有出现过，则最不幸的情况就是，（12，5）等都取了一个，即五个抽屉取了五个，还有6,7各取一个，再取一个就有两个数差为7了，则取了5+2+1=8个。
例：学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同
析：不同的情况有，都不参加、参加语文、参加数学、参加美术、参加语文和数学、参加语文和美术、参加数学和美术，最不幸的情况是，4组人都参加了这7项，共28项，这样，再加入1人，即29人时，满足题意。

十一.函数问题
这种题型，土方法就是找一个简单的数代入。
X^3+Y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
1.    求值
例：已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x)，则f(2)是多少？
析：既然f(2+x)=f(2-x)，当x=2时，方程成立，即f(4)=f(0)，求得a=-4，得解。
例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求f(2008)=?
析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0
例：f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=?
析：f(3)=-1/f(2)=1/2007，f(4)=-1/-1/2007=2007，f(5)=-1/2007，则f(2007)=-1/2007
例：f(2x-1)=4*X^2-2x,求f(x)
析：设2x-1=u，则x=u+1 / 2，则f(u)=4* ((u+1)/2)^2-2*(u+1)/2 =u^2+u 所以f(x)=x^2+x

2.求极值
例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-x^2+4*x+1，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（　　）
A． 10　　B．20　　C．30　　D．50
析：y=-(x-2)^2+5，则y最大值为5。净利润为50万元。可以配方的。
例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-1/3x^3+x^2+11/3，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（  ）
A 5  B 50 C 60 D70
析：这道题要求导，公式忘光了， y=-1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得x=2，则代入y得5。求导公式好像是-1/3x^3=3*(-1/3)*x^2，常数为0。不能配方的，极值试求导，不会做只能放弃。

十二、比赛问题

1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？( )
【解析】在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100-2＝98(场)。
2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？( )
【解析】根据公式，采用单循环赛的比赛场次＝参赛选手数×（参赛选手数-1)/2，因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。
3. 某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？( )
【解析】根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：4×（4-1)÷2＝6(场)，8组共48场；第二阶段中，有2×8＝16人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数-1，即15场。最后，总的比赛场次是48＋15＝63(场)。
4. 某学校承办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？( )
【解析】根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：6×（6-1)÷2＝15(场)，2组共30场；第二阶段中，有2×3＝6人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30＋6＝36(场)。又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息36÷6-1＝5(天)，所以全部比赛完成共需18＋5＝23(天)。

比赛赛制
　　在正规的大型赛事中，我们经常听到淘汰赛或者循环赛的提法，实际上这是两种不同的赛制，选手们需要根据事前确定的赛制规则进行比赛。我们先谈谈两者的概念和区别。
　　1. 循环赛：就是参加比赛的各队之间，轮流进行比赛，做到队队见面相遇，根据各队胜负的场次积分多少决定名次。
　　循环赛包括单循环和双循环。
　　单循环是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。
　　单循环比赛场次计算的公式为：由于单循环赛是任意两个队之间的一场比赛，实际上是一个组合题目，就是C(参赛选手数，2)，即：单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
　  双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目少，或者打算创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法。
　　双循环比赛场次计算的公式为：由于双循环赛是任意两队之间比赛两次，因此比赛总场数是单循环赛的2倍，即：双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
　　2. 淘汰赛：就是所有参加比赛的队按照预先编排的比赛次序、号码位置，每两队之间进行一次第一轮比赛，胜队再进入下一轮比赛，负队便被淘汰，失去继续参加比赛的资格，能够参加到最后一场比赛的队，胜队为冠军，负队为亚军。
　  淘汰赛常需要求决出冠(亚)军的场次，以及前三(四)名的场次。
　　决出冠(亚)军的比赛场次计算的公式为：由于最后一场比赛是决出冠(亚)军，若是n个人参赛，只要淘汰掉n-1个人，就可以了，所以比赛场次是n-1场，即：淘汰出冠(亚)军的比赛场次＝参赛选手数-1；
　　决出前三(四)名的比赛场次计算的公式为：决出冠亚军之后，还要在前四名剩余的两人中进行季军争夺赛，也就是需要比只决出冠(亚)军再多进行一场比赛，所以比赛场次是n场，即：淘汰出前三(四)名的比赛场次＝参赛选手数。

第六部分、数字运算下
十三．其它问题
1.工程问题中的木桶原理
例：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（）天？
A、4  B、 5  C、6  D、7
析：丙丁合做需要8天，则丙丁平均效率16天，这里最差的18天，则四人做最差也只要4.5天，则选4。
例：一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（）天？
A、2.5 B、3 C、4.5 D、6
析：平均分配给这些人做，则每人做1/6，需要的天数由最差效率的人决定。则需1/6 / 1/18 =3

2.年龄问题多用代入法
母亲现在的年龄个位数跟十位数对调就是女儿的年龄。再过13年母亲的年龄就是女儿年龄的2倍。则母亲年龄是（）
A、52  B、42  C、41  D、44
析：此题不用列方程，直接代入即可。另一种方法是，母亲现在的年龄加上13是偶数，则现在年龄是奇数。

3.3000页码里含有多少个2?
析：1－99里有20个2，100－199有20个2。0－999中，除了200-299有100+20个2以外，每100都有20个2，则0－999共有2：120+9*20＝300
同理：3000－3999也有300个2
考虑2000-2999，因为0-999含有300个2，这1000个数里，每个数其实都多加了一个2，则应该含有1000+300个2。
则共有2:1300+300+300。
一般地：
001－099有20个N（N表示1－9的任何数）
100－199有20个N（N不能等于1)
200－299有20个N（N不能等于2）
……
0000－0999有300个N，
1000－1999有300个N（N不能等于1）
2000－2999有300个N（N不能等于2）
……
00000－09999有4000个N
10000－19999有4000个N（N不能等于1）
100000－199999有50000个N（N不能等于1）
900000－999999有50000个N（N不能等于9）
而：
100-199有120个1
1000-1999有1300个1
2000－2999有1300个2
10000－19999有14000个1
100000－199999有150000个1。
则此题中：
思路1：0－999含2为300个，1000－1999含2为300个；2000－2999含2为1300个。则共有1900个2。
思路2：0－3000中，百位以下（含百位）含2为，3*300＝900，千位含2为1000个。则共有1900个2。

例：一本1000页的书有多少个1？
析：1000页书中，0－999页有300个1，1000又有1个1，则共有301个1。

例：一本10000页的书有多少个1？
析：0－9999有4000个1,加上10000的一个1，则为4001个1。

例：3000页的书有多少个3?
析：0－999有300个3，1000－1999有300个3，2000－2999有300个3,3000有1个3,则3*300+1＝901页

4.1000页码里有多少页含1?
析：此题与上题不同，问的是页数。则因为总共有301个1，其中重复计算的111中的2个1，9个1X1，11X中9个1，X11有9个1，共有29个1，则有272个含1的。
思路2：00－99中，含1的页码有10+9。则200－299，300－399……900－999，共有1的页码是：19*8。在100-199中，含1页码为100，加上第1000页，共有页码：19+19*8+100+1＝272页。

5.三人隔不同时间的相遇

例：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？
A.10月18日 B.10月14日 C.11月18日 D.11月14日
析：0 0 0 0 0 0 0，这是隔5天，实际上第一次（5月18日）相遇那天，过了6天，甲又去借书，再过6天又去借书，也就是过6的倍数天去借书。同理，乙是12倍数，丙是18倍数，丁是30倍数，最小公倍数是180，即过了180天，因为有小于31的，一定选D.

注：数学运算题型众多，本文并未全部涉及。欲继续加强这部分的朋友，可以通过历年真题+小学奥数题本学习。